В дремучем Муромском лесу из земли бьют десять источников мёртвой воды: от N1 до N10. Из первых девяти источников мёртвую воду может взять каждый, но источник N10 находится в пещере Кощея, в которую никто, кроме самого Кощея, попасть не может. На вкус и цвет мёртвая вода ничем не отличается от обыкновенной, однако, если кто-либо выпьет из какого-нибудь источника, то он умрёт. Спасти его может только одно: если он запьёт ядом из источника, номер которого больше. Например, если он выпьет из седьмого источника, то ему надо обязательно срочно запить ядом N8, N9 или N10. Если же он выпьет не седьмой яд, а девятый, ему может помочь только яд N10. А если он сразу выпьет десятый яд, то ему уже ничто не поможет.

(далее…)

Арбузный ломтик по средам № 192

Свечи и огарки

Вроде старая задача и даже, кажется, что была в книжках Мартина Гарднера.
(далее…)

Из огарков (то, что остается от свечи) семи свечей можно слепить целую свечу.

1. Сколько свечей всего можно сжечь, если первоначально куплено 92 свечи?

2. Перечислите первые 10 чисел количества свечей, от которых останется
1, 2, 3, 4, 5 и 6 огарков? (Отдельно первые 10 чисел свечей для каждого количества огарков)

3. Зависит ли оставшееся количество огарков от очередности сжигания и «восстановления» свечей?

На какое наименьшее число надо умножить 9, чтобы получить число, состоящее из одних двоек?

Девочек, занимающихся танцами, в классе столько же, сколько мальчиков, не занимающихся танцами. Кого больше в классе: тех, кто не занимается танцами или мальчиков?

Жил-был пастух, и было у него в жизни две радости: разводить овец и растить детей.

Детей у него было 24, а овец — намного больше.
Когда денег совсем не осталось, поехал он на ярмарку и продал всех овец.
Вернувшись домой, он захотел разделить выручку поровну между своими детьми, но не тут-то было. Не делится, и все.
Пошел он к учёному соседу и стал жаловаться на несправедливую жизнь. Тот его и спрашивает: «А сколько же денег ты заработал?»
Пастух долго чесал в затылке: «Помню только, что количество овец было большим простым числом и продал я каждую овцу за столько монет, сколько первоначально было овец в стаде».
Ученый сосед в ответ: «Невелика беда, дай мне 1 монетку за совет, а остальные деньги дели себе на здоровье».
Обрадовался пастух, пришел домой и все сделал как сказано.
А потом стал думать: «Как мой ученый сосед смог узнать, что оставшиеся деньги можно поделить поровну?»

И в самом деле, как?

Машина наша едет в гору со скоростью 65 км/час, а под гору со скоростью 104 км/час.

Как далеко мы можем отъехать на часовую прогулку?

Зависит ли ответ от начального направления прогулки вверх или вниз?

Какова будет средняя скорость прогулки в обоих вариантах?

Сегодня 0102.2010!!!!

Когда следующая симметричная дата и сколько их будет в этом столетии?

А сколько всего дат можно составить из 4х нулей 2х единиц и 2х двоек?

Урок. Математика. “Биллиарды на плоскости и в …” (I)
Юлий Сергеевич Ильяшенко – “Биллиарды на плоскости и в многомерном пространстве” (лекция 1)

Ректор Независимого Московского Университета, профессор кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ Юлий Сергеевич Ильяшенко

VI Летняя школа “СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА” (Дубна, 22 июля 2006 года)

(далее…)

Собственно вопрос сводится к отражению арбуза в отражении стакана от стола.  Какой арбуз отражается в отражении стакана не ясно — который отражается в столе, или который отражается в стакане? Как говорится, «отвал башки», спасибо за задачу, kalumika!

В столе и в стакане отраженный арбуз. А в стакане, который в столе?

Хорошо, что в стакане не отражается отражение от стола, а то бы мы совсем запутались бы…

Так называется колонка на Информационном буме, прошу…

Облако, тень от которого имеет площадь А, сливается с облаком, тень от которого имело площадь В. Найти площадь тени S нового облака после слияния.

Бороздя просторы рунета, наткнулся на интересную задачу.
На электронном табло отображается верное математическое равенство. Но один пиксел табло неисправен. Какой?

С Хабра

В Болгарии полностью совпали результаты двух подряд розыгрышей национальной лотереи
17.09.2009 в 21:12 GZT.RU

В Болгарии зафиксирован невероятный случай: в двух подряд розыгрышах национальной лотереи полностью совпали все шесть победивших цифр. По мнению министерства спорта Болгарии, проведшего расследование, совпадение не было результатом мошенничества.

Как сообщает РИА Новости со ссылкой на местные СМИ, тиражи 6 и 10 сентября выдали одинаковые победившие числа – 4, 15, 23, 24, 25 и 42, но в разной последовательности. Розыгрыш транслировался по национальному телевидению.

Подозрения в мошенничестве усилились после того, как стало известно, что в первом розыгрыше был сорван джек-пот, а после второго тиража все цифры угадали 18 человек, что беспрецедентно много для данной лотереи.

Каждый из победителей получил чуть больше 10 тыс. левов (около 5 тыс. евро).

Шанс на то, что все номера совпадут в двух тиражах, равняется 1 к 4 млн.

Министерская комиссия установила, что лотерейная машина была исправна, и результаты были должным образом запротоколированы тиражной комиссией.

По словам представителей комиссии, имело место “сумасшедшее совпадение”.

http://www.gzt.ru/topnews/world/260944.html

А чему точно равна вероятность такого совпадения?

Если лотереи такие проводятся в 200 странах ежемесячно, то когда повторится?

Все уже обсудили красивую дату? ;-0)

Напомню, что такие интересные даты называются календромами и есть статья про них: “Познакомьтесь — календромы!”

На столб диаметра D и высотой h намотана цепь длиной L. Цепь закреплена сверху и наматывается под углом a. На каком максимальном расстоянии от столба можно положить кость, чтобы собачка ее достала?

Картинка и тема задачи отсюда.

Математический софизм – это ошибочное доказательство.
Где ошибка в следующем «алгебраическом» доказательстве того, что любое число а равно меньшему числу b?
Начнем с равенства :
а = b + c.
Умножив обе его части на (a — b), получим:
а² — аb = аb + аc — b² — bс.
Перенесем ас в левую часть:
а² — аb — аc = аb — b² — bс
Разложим на множители:
а(а — b — c) = b(а — b — c).
Разделив обе части равенства на (а — b — c), найдем:
а = b.

Если зайти на любой рейтинг сайтов, например, узнетовский  http://www.uz/ru/catalogue/toprating/, то увидим, что за сутки некоторые сайты поднялись на какое-то число строк, а некоторые опустились…

Равна ли сумма всех чисел повышений сайтов сумме всех чисел понижений сайтов?

Для поездки с учениками за город школа заказала несколько одинаковых автобусов. 115 человек поехали на озеро, 138 – в лес. Все места в автобусах были заняты, и всем хватило места.  Сколько было заказано автобусов и сколько мест в каждом автобусе.

И еще одна задача сразу. Сколько нужно взять произвольным образом последовательных натуральных чисел, чтобы их произведение обязательно делилось на 120 ?

Полуостров представляет собой острый угол, внутри которого находится дом лесника. Как леснику, выйдя из дома, добраться до одного берега полуострова, затем до другого и вернуться домой, пройдя при этом по самому короткому пути?

Вопросы

1. Если слиплись два пузыря равного радиуса, то их граница очевидно плоская. А если слиплись пузыри разных размеров, куда будет выпучена граница — в сторону крупного или меньшего из пузырей?
2. Пузыри иногда объединяются. Какой радиус будет у пузыря, получившегося при слиянии двух одинаковых пузырей радиусом 4 см?
3. Вопрос для читателей, знающих физику на пять: если пузырь влетит с холодной улицы в теплую комнату, его радиус увеличится или уменьшится?
4. И еще — притянется ли пузырь к наэлектризованной расческе?

спрашиваются в статье «Мыльный пузырь как загадка науки»

Прошу читать, можно вместе с детьми

Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.

Отсюда

sobol3v пишет в ru_olymp_math:
предлагаю еще 5 задач с американской олимпиады для студентов нематематических факультетов

1. Даны 4 идентичных апельсина, каждый радиусом 2 сантиметра. Из них составлена пирамида – три апельсина внизу, и один сверху посередине. Каждый апельсин касается трех других. Найти высоту пирамиды.

2. Пусть f(N) – сумма цифр составляющих N, пусть g(N) – произведение цифр, составляющих N. (пример: f(36)=9, g(36)=18)
Найти все положительные N, при которых 6*f(N)*g(N)=N^2

3. В группе был проведен экзамен (макс 100 баллов), но один студент не смог придти из-за болезни. Он пришел через неделю, чтобы таки его сдать. Перед экзаменом, он спросил преподавателя о результатах группы, на что получил ответ:
- Группа сдала не очень хорошо, и любой твой результат не изменит средний балл группы на более чем один балл (из 100).
Какова минимальная численность группы, где такой ответ будет возможным?

4. Два человека договорились встретиться. Каждый приедет в случайно выбранное время между 13.00 и 14.00 и прождет другого 15 минут перез отъездом. Каков шанс, что встреча таки состоится?

5. Шайба (размер, в целях задачи, считайте с одну точку) расположена в 1 метре от левой стороны и в пяти метрах от верхней и нижней сторон хоккейной коробки. Симметрично на другой стороне (1 метр от правой стороны и 5 метров от верхней и нижней сторон) расположена лунка, так же в целях задачи размером с одну точку (см диаграмму ниже). Размер коробки – 20 на 10 метров.

Хоккейст пытается ударить шайбу так, чтобы она отрикошетила от каждого бортика один (и только один) раз и попала в лунку. Найти угол между прямой, соединяющей исходную точку шайбы и лунки, и линией, по которой нужно будет нанести удар.
В целях задачи, сопротивление, трение и прочие физические параметры отсутствуют; угол отражения равен углу касания.

Оказалось 03.03.09 все математики на Западе, которые знают что это такое, отмечают День квадратного корня. Отсюда. Спасибо!

Стало быть следующий праздник через 7 лет, один месяц и 1 день… А кто перечислит все такие праздники?

Пишут, что эту и похожие задачки MS использует на своих собеседованиях:
Злобный демон поймал много гномов (их точное количество неизвестно). После этого во время «инструктажа при приеме на работу» в свою компанию демон прикрепил каждому из гномов на лоб красный или зеленый драгоценный камень. Демон сообщает каждому своему новому рабу гному, что теперь у того на лбу драгоценный камень, который невозможно удалить. Ни сам демон, ни другой гном не скажут, какого цвета этот камень (гномам строго запрещено разговаривать).
Каждое утро гномы строятся. Это делается для того, чтобы демон мог их пересчитать и убедиться, что ни один из гномов не убежал.
В один прекрасный день демону гномы надоели, и он решил от них избавиться. Он объявляет гномам, что отпустит их всех на свободу, если они сумеют правильно определить, какого цвета прикрепленный у каждого из них на лбу камень. Он дает им одну подсказку: есть по крайней мере один гном с зеленым камнем и один — с красным. Чтобы обрести свободу, гномы во время утреннего построения должны (им по прежнему нельзя разговаривать) подать демону правильный сигнал: все гномы с красным камнем во лбу должны выйти из строя на один шаг, а все те, у кого зеленый камень, — остаться в строю. Если они при этом не допустят ни одной ошибки — все гномы смогут отправиться домой и снова работать на своих любимых угольных шахтах. Если же они допустят ошибку — все будут казнены прямо на месте.
Время, которое дается гномам для определения цвета камней, не ограничено. Они все обладают безупречной логикой и очень хотят вернуться домой. Как им нужно поступить?
Повторюсь: гномы НИКАК не могут общаться. У них есть неограниченное число построений для решения вопроса и только одна попытка.
PS: Гномы в данной задаче – безупречно логичные существа, у них абсолютное зрение, память, понимание логики других гномов.

Взято отсюда – там и комменты есть…

по этой ссылке можно прочесть задачки для пионеров 1940-го года и сравнить нынешнюю смекалку с тогдашней :-)

Точнее, про формулу, дающую Пи, о которой я недавно писал. Оставался открытым вопрос – почему выражение x=x+sin(x) стремится к Пи?  На этот вопрос ответил Надир Заитов на юФоруме:

Пусть мы имеем число П близкое к Пи. При этом П-Пи=d. Заметим, что sin(d)=sin(П-Пи)=-sin(П).
Далее для “маленьких” d (это и было существенно) d=arcsin(sin(d))=-arcsin(sin(П)).

Далее просто sin(П) можно вычислить, а arcsin заменить урезанным рядом Тейлора для арксинуса (так как d -число “маленькое”, то это возможно). Например:

с одним членом ряда Тейлора – arcsin(x)~x – и мы сразу получаем вашу формулу: Пи=П+sin(П); – точность порядка O(d^3);

с двумя членами – arcsin(x)~x+x^3/6 – и мы сразу получаем мою формулу: Пи=П+sin(П)+sin(П)^3/6; – точность порядка O(d^5);

с третим членом – arcsin(x)~x+x^3/6+x^5*3/40 – и мы получаем более продвинутую формулу: Пи=П+sin(П)+sin(П)^3/6+sin(П)*x^5*3/40; – точность порядка O(d^7);

То есть если Вам известны точно 50 первых знаков числа Пи, то в результате 1-й итерации с тремя членами Вы получите точность в 600 знаков после запятой точно… а так около 650 знаков. Третей итерации мне уже не было нужно.

Задача давно и бурно обсуждается в разных сообществах «без того же результата» ©. напомню условие:

В колодец опущены две тростинки, одна длиной 2 меры, другая – 3 меры. Тростинки скрещиваются на высоте 1 меры над дном колодца. Каков диаметр колодца?

Появилась надежда, что задача решена – читать здесь.

Если кто не знает еще – Арбуз давно неравнодушен к числу Пи, подробности смотрите в «Зоне Пи».  Недавно получил письмо от автора (имя, к сожалению, он не назвал), предлагающего новые алгоритмы, дающие чило Пи. Подробнее смотрите на страничке автора – http://gambit.name/phantom_number_pi.htm. Я попробовал два похожих алгоритма:

Private Sub Command1_Click()
qq = “c:\qqq.txt”
Open qq For Output As #1
x = 4
pi = 4 * Atn(1)
For i = 1 To 5
x = x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x)))))))
‘x = x + Sin(x)
Print #1, “x=”; x, “x – pi = “; x – pi
Next i
Close qqq
End Sub

Обе формулы быстро сходятся к числу Пи, вот результат работы этого кода:

x= 3,40559710663687         x – pi =  0,264004453047081
x= 3,15321194809086         x – pi =  1,16192945010671E-02
x= 3,14159369927536         x – pi =  1,0456855705776E-06
x= 3,14159265358979         x – pi =  0
x= 3,14159265358979         x – pi =  0

1. Откуда появляется число Пи я так и не понял. :-)
2. Если  в первом, незакомменченном апострофом, алгоритме добавить еще три слагаемых, продолжая закон, то скорость схождения замедляется, ряд начинает «хулиганить».
3. Не ясно – первый и второй (закомменченный) алгоритмы – это одна и таже формула или нет? Работают с похожим результатом.
4. Если начальное значение х задавать 1, 2, 3, 4, 5, 6 – то сходится к Пи. Если задать 6.5, 7, 8, 9 – то сходится к 2*Пи. Если задать х=20, то сходится к 6*Пи. Закономерность не отследил, может, кто-то из читателей установит ее.