Арбузный блог

В феврале этого года вышла статья двух американских ученых об орнаментах. Путешествуя по Узбекистану они разглядели в узорах средневековых построек математические структуры, открытые математиками лишь во второй половине прошлого века. Статья имела успех, особенно в Узбекистане, ее перепечатали многие местные издания. Действительно интересно, что древним зодчим были известны законы построения сложных орнаментов, утерянные после и заново открытые официальной наукой. Для нас же вся эта история важна тем, что привлекла внимание тысяч читателей газет и веб-страничек к мозаикам и орнаментам — самым красивым проявлениям математики в реальном мире. Самое интересное, что не все орнаменты еще открыты, наличие многих вариантов пока неизвестно и вполне может быть, что вам удастся их обнаружить. У Мартина Гарднера есть сведения о простой домохозяйке, открывшей в пятидесятых годах один из вариантов, которые «просмотрели» настоящие математики.

Предлагаю размяться и обновить сведения об орнаментах, мозаиках или, что почти тоже самое, способах замощения плоскостей плитками. Орнаменты, составленные из правильных одинаковых многоугольников, назовем правильными. Как известно, полный угол вокруг точки равен 360 градусов. Значит, мы можем сомкнуть в одной вершине шесть правильных треугольников — у них же угол при каждой вершине равен 60 градусов. Треугольники сомкнутся без зазоров и нахлестов — это и есть замощение плоскости. Такими треугольниками можно замостить как кафелем всю плоскость. Точно также можно свести вместе 4 квадрата — самый известный вариант замощения — или три шестиугольника. Все — мы исчерпали все варианты замощения одинаковыми правильными многоугольниками. Решетки или узоры такие красивы, но слишком уж примитивны.

Усложняем. Полуправильными назовем орнаменты, составленные из двух и более видов правильных многоугольников. Самый легкий пример — если у квадратов на плоскости «срезать» уголки, то получим восьмиугольники, между которыми примостились квадраты. Можно этот узор еще усложнить — раздвинуть восьмиугольники, вписав между ними квадраты. Так вот — количество всех вариантов полуправильных мозаик (или орнаментов или замощений плоскости) тоже ограничено и не так уж велико. Попробуйте найти их самостоятельно — увлекательнейшее занятие.

Усложняем — сдвинем квадраты, точнее, деформируем их, превратив в ромбы. Замощение сохранится, то есть, мы получаем разные варианты, составленные из неправильных многоугольников, точнее, из многоугольников с равными сторонами. Попробуйте найти несколько таких узоров, закрывающих всю плоскость. Еще направление — если при замощении треугольниками прорисовывать не все линии, то можно получить касающиеся звездчатые шестиугольники, так называемые «Звезды Давида». Это дает простор для составления орнаментов из звездчатых фигур правильных многоугольников.

А можно ли замостить плоскость пятиугольниками? Конечно нет, ответит любой троечник, ведь в пятиугольнике угол равен 108 градусов, три в одной вершине лягут с зазором, в который четвертый пятиугольник не впишется. Но не все так однозначно, сейчас я вам открою величайший секрет. Можно замостить плоскость пятиугольниками! Представьте плоскость замощенную правильными шестиугольниками. Легко, правда? Теперь в каждом шестиугольнике проведем линию, соединяющую середины противоположных сторон. Она разделит шестиугольник на два пятиугольника с сохранением замощения. Правда, пятиугольник не правильный, но зато все они одинаковые!

Самый красивый из существующих орнаментов можно увидеть в Ташкенте на огромном панно при переходе со станции метро «Пахтакор» на станцию «Навои». Я каждый раз подолгу его разглядываю. Огромный звездчатый двенадцатиугольник переходит в звездчатые пятиугольники. Этот узор часто встречается при оформлении старинных мечетей и минаретов. Он же приведен на прилагаемой к статье картинке. Внимание, вопрос, на который ищут ответ ученые много веков. У двенадцатиугольника угол при вершине 30 градусов, а у пятиугольника — звезды — 36 градусов. Как же эти вершины переходят друг в друга, образуя вертикальные углы? Мистика просто…

Ссылки по орнаментам.

«Научная мозаика отстала от древних стен на 500 лет». Статья на сайте membrana.ru

Taprats gallery. Там позаимствована картинка к статье.

Reflections on Islamic Art and Architecture. Пересказ статьи американских ученых об открытии орнамента в Узбекистане (на английском) с дальнейшими ссылками.

P. S. Колонка выходит 14 марта… Надеюсь, все помнят, что это День числа Пи! Подробнее смотрите в «Зоне Пи» на «Арбузе».