Решена задача о непериодичном замощении плоскости фигурами одной формы
Двое ученых из Университета Дьюка (США) предложили свой вариант непериодичной мозаики, полностью покрывающей плоскость, с использованием плиток одной формы.
Плитки, их раскраска и правила замощения плоскости (здесь и далее иллюстрации авторов работы).
Проблеме непериодичного замощения плоскости около пятидесяти лет. Первый набор плиток, состоящий из 20 426 фигур, представил в 1966 году математик Роберт Бергер; через некоторое время он, впрочем, сумел сократить число необходимых плиток до 104. Самое известное решение этой проблемы — мозаика Пенроуза — появилось в семидесятых годах прошлого века и использует всего две различные фигуры.
Авторам рассматриваемой работы для решения задачи хватило одной фигуры — правильного шестиугольника (см. рисунок справа). При укладке таких плиток черные линии не должны прерываться, а флажки в вершинах шестиугольников, которые находятся на расстоянии, равном длине одной стороны плитки (на рисунке отмечены стрелками), должны смотреть в одну сторону.
Ученые использовали, строго говоря, две различные раскраски: вторая получается при отражении первой относительно вертикальной линии. Без второго варианта раскраски, впрочем, можно обойтись, если плитку сделать трехмерной. Замощение плоскости такими плитками показано на одном из расположенных ниже рисунков; для удобства представления те флажки на шестиугольниках, которые смотрят влево, заменены здесь фиолетовыми линиями, а флажки другого типа — красными.
В своей работе авторы также приводят примеры плиток, которые дают непериодичное замощение при учете одной лишь их формы: в этом случае пропадает необходимость устанавливать правила соединения, связанные с раскраской. В двумерном варианте такие плитки состоят из нескольких изолированных областей, но в трехмерной версии все их части связаны друг с другом.
Непериодичное замощение плоскости шестиугольниками. Плитки с одним типом раскраски показаны серым, с другим — черным.
Трехмерный вариант плитки.
Непериодичное замощение плоскости двумерными плитками без раскраски. Области, выделенные одним цветом, вместе составляют одну плитку.
Плитки, которым не требуется раскраска, в трехмерном случае.
Препринт статьи можно скачать с сайта arXiv.
Подготовлено по материалам Technology Review.
