Арбузный блог

sobol3v пишет в ru_olymp_math:
предлагаю еще 5 задач с американской олимпиады для студентов нематематических факультетов

1. Даны 4 идентичных апельсина, каждый радиусом 2 сантиметра. Из них составлена пирамида — три апельсина внизу, и один сверху посередине. Каждый апельсин касается трех других. Найти высоту пирамиды.

2. Пусть f(N) — сумма цифр составляющих N, пусть g(N) — произведение цифр, составляющих N. (пример: f(36)=9, g(36)=18)
Найти все положительные N, при которых 6*f(N)*g(N)=N^2

3. В группе был проведен экзамен (макс 100 баллов), но один студент не смог придти из-за болезни. Он пришел через неделю, чтобы таки его сдать. Перед экзаменом, он спросил преподавателя о результатах группы, на что получил ответ:
— Группа сдала не очень хорошо, и любой твой результат не изменит средний балл группы на более чем один балл (из 100).
Какова минимальная численность группы, где такой ответ будет возможным?

4. Два человека договорились встретиться. Каждый приедет в случайно выбранное время между 13.00 и 14.00 и прождет другого 15 минут перез отъездом. Каков шанс, что встреча таки состоится?

5. Шайба (размер, в целях задачи, считайте с одну точку) расположена в 1 метре от левой стороны и в пяти метрах от верхней и нижней сторон хоккейной коробки. Симметрично на другой стороне (1 метр от правой стороны и 5 метров от верхней и нижней сторон) расположена лунка, так же в целях задачи размером с одну точку (см диаграмму ниже). Размер коробки — 20 на 10 метров.

Хоккейст пытается ударить шайбу так, чтобы она отрикошетила от каждого бортика один (и только один) раз и попала в лунку. Найти угол между прямой, соединяющей исходную точку шайбы и лунки, и линией, по которой нужно будет нанести удар.
В целях задачи, сопротивление, трение и прочие физические параметры отсутствуют; угол отражения равен углу касания.