Арбузный блог

Художники и геометры играли с покрытиями (мозаиками) с древности. Одинаковые куски – шестигранные соты или параллелограммы – ложатся на плоскость, покрывая ее всю, причем картина бесконечно повторяется. Гоогле дает тысячи картинок в ответ на «plane tessellation», например, это. Имеется 17 типов симметрии, которые показаны здесь. Эшер (1902–1972) открыл потенциал покрытий в живописи, и здесь галерея его работ по симметрии.

B 1974 году представления о покрытиях изменились: Пенроуз (sir Roger Penrose, Oxford) нашел способ покрыть всю плоскость двумя ромбами (Penrose tiling, обратите внимание на картинку). Поразительно, что это покрытие непериодично! Бесконечно похожая на себя, но не повторяющаяся мозаика вызывает легкий шок; непонятно, порядок это или хаос. Оказалось, и то и другое. Мозаика Пенроуза – квазикристалл. Это означает, что стартуя с небольшого количества ромбов и соблюдая несколько правил добавления новых, мы всегда получим одну и ту же мозаику (нет никакой свободы выбора, как и в периодических структурах).

Оказалось, что мозаика получается как сечение пятимерной кубической решетки наклонной плоскостью. Она наследует и порядок кубов и беспорядок линий пересечения. Потом нашли много других таких покрытий (здесь Hirschhorn Tile – непериодическое покрытие одним пятиугольником). Разумеется, выяснилось, что средневековые мусульмане их тоже знали (кажется, они знали массу всего о симметриях, но к сожалению, это не получило развития). Из покрытий Пенроуза иногда делают мозаики на стенах и на полу. (Здесь Пенроуз стоит на своей мозаике), а здесь Мельбурн. Жаль, Эшер не дожил!

По мудрому замечанию Я.Б.Зельдовича, «Все, что придумали математики, рано или поздно будет реализовано физиками». Через два года после открытия Пенроуза, Шехтман и соавторы синтезировали первые квазикристаллы – физические квазипериодические объекты, и с этих пор над ними многие активно работают, ибо они обладают повышенной прочностью, низким трением, замечательной дифракционной картиной, и другими интересными свойствами. В 2010 на Камчатке нашли природные квазикристаллы.

Вернемся к геометрии. Казалось бы, что нового можно увидеть в планиметрии после того, как математики вглядывались в нее 2,5 тысячи лет со времен Евклида? Одкако, нашлось принципиальное развитие, соединившее порядок и беспорядок, и безумно красивое само по себе! Это вселяет оптимизм – для Вас, %username% тоже наверняка осталось немало замечательного.

Источник