Дети и овцы
Жил-был пастух, и было у него в жизни две радости: разводить овец и растить детей.
Детей у него было 24, а овец — намного больше.
Когда денег совсем не осталось, поехал он на ярмарку и продал всех овец.
Вернувшись домой, он захотел разделить выручку поровну между своими детьми, но не тут-то было. Не делится, и все.
Пошел он к учёному соседу и стал жаловаться на несправедливую жизнь. Тот его и спрашивает: «А сколько же денег ты заработал?»
Пастух долго чесал в затылке: «Помню только, что количество овец было большим простым числом и продал я каждую овцу за столько монет, сколько первоначально было овец в стаде».
Ученый сосед в ответ: «Невелика беда, дай мне 1 монетку за совет, а остальные деньги дели себе на здоровье».
Обрадовался пастух, пришел домой и все сделал как сказано.
А потом стал думать: «Как мой ученый сосед смог узнать, что оставшиеся деньги можно поделить поровну?»
И в самом деле, как?
Февраль 23rd, 2010 at 06:46
Да…
Посчитал для простых чисел от 29 до 3571. Действительно, если возвести в квадрат и отнять 1, получившееся число делится на 24 без остатка.
Сломал мозг…)))
Февраль 23rd, 2010 at 12:12
Бывает :-0)
Февраль 24th, 2010 at 08:43
Обзовём количество баранов n.
n – простое, >>24.
Следовательно выручка составила n^2 монет,
Рассмотрим число n^2-1=(n+1)*(n-1)
Итак, мы имеем 3 числа идущих подряд: (n-1), n, (n+1)
Т.к n простое и >>24, то (n-1) и (n+1) четные, т.е. делятся на 2 а одно из них на 4
Если (n-1) не делится на 4, то оно при делении на 4 даёт остаток 2 и тогда на 4 делится (n+1); при делении на 3 возможны остатки 0,1,2; нам известно, что число р не делится на 3 т.к. оно простое, значит n/3 даёт в остатке 1 или 2, если в остатке 1, то (n-1) делится на 3, а если в остатке 2, то на 3 делится (n+1).
Отсюда следует, что (n+1)*(n-1) делится всегда на 2*4*3=24 при n>=5