Арбузный блог

Точнее, про формулу, дающую Пи, о которой я недавно писал. Оставался открытым вопрос — почему выражение x=x+sin(x) стремится к Пи?  На этот вопрос ответил Надир Заитов на юФоруме:

Пусть мы имеем число П близкое к Пи. При этом П-Пи=d. Заметим, что sin(d)=sin(П-Пи)=-sin(П).
Далее для «маленьких» d (это и было существенно) d=arcsin(sin(d))=-arcsin(sin(П)).

Далее просто sin(П) можно вычислить, а arcsin заменить урезанным рядом Тейлора для арксинуса (так как d -число «маленькое», то это возможно). Например:

с одним членом ряда Тейлора — arcsin(x)~x — и мы сразу получаем вашу формулу: Пи=П+sin(П); — точность порядка O(d^3);

с двумя членами — arcsin(x)~x+x^3/6 — и мы сразу получаем мою формулу: Пи=П+sin(П)+sin(П)^3/6; — точность порядка O(d^5);

с третим членом — arcsin(x)~x+x^3/6+x^5*3/40 — и мы получаем более продвинутую формулу: Пи=П+sin(П)+sin(П)^3/6+sin(П)*x^5*3/40; — точность порядка O(d^7);

То есть если Вам известны точно 50 первых знаков числа Пи, то в результате 1-й итерации с тремя членами Вы получите точность в 600 знаков после запятой точно… а так около 650 знаков. Третей итерации мне уже не было нужно.