Арбузный блог

Вследствие утраты углом остроты, заключенная здесь сила становится
хотя и менее агрессивной, но более длительной Угол заключает в себе
нечто бездумно юношеское, кривизна — зрелую, по праву уверенную в себе энергию.
Василий Кандинский. Точка и линия на плоскости

Есть чем заняться скучными осенними вечерами, когда по летней инерции еще хочется погулять подольше, а зимняя спячка еще не окутала молодящийся разум. И так, берёте лист бумаги и рисуете замысловатую с самопересечениями замкнутую линию. Представим, что это дорога, точнее автострада. Будем по ней двигаться из произвольно выбранной точки. Каждое пересечение (предположим, что в точках пересечения пересекаются не более двух линий) будем рассматривать как перекресток, и не простой, а с развязкой в двух уровнях. Будем также следовать правилу — чередовать уровни — если первый перекресток мы проезжаем «сверху», то следующий «снизу» относительно пересекаемой дороги. Наша автострада будет то над, то под пересекаемых участков. Рисование таких трасс хорошее занятие на скучных заседаниях, на уроках, лекциях и семинарах.

Это было вступление, так сказать раздаточный материал, с которым мы сейчас будем работать. Собственно говоря, вся работа сводится к ответам на три вопроса.

Первый. А удалось ли вам завершить чередование верхних и нижних пересечений нарисованной вами трассы? Не столкнулись ли при замыкании с двумя подряд идущими верхними или нижними пересечениями? Является ли полученный результат свойством именно вашей кривой линии? Можете ли вы нарисовать другую кривую линию с самопересечениями с другими свойствами при чередовании мостов?

Второй. Разомкните линию или нарисуйте новую незамкнутую с самопересечениями. Сохраняется ли возможность чередования пересечений? Нарисуйте поверх одной кривой другую, попробуйте варианты когда обе замкнутые или обе незамкнутые или одна замкнутая, а вторая незамкнутая. Сохраняется ли возможность чередования? Можете ли вы нарисовать трассу, на которой закон чередования нарушается?

Третий вопрос. Вернемся к первоначальной изъезженной уже (чуть не написал «вдоль и поперек») основательно трассе. Попробуем изменить закон чередования, например, так: «два пересечения сверху, одно снизу, два сверху, одно снизу». Как успехи при замыкании? Удалось ли все мосты построить согласно правилу? А если снова поменять правило на такое: «два сверху, два снизу»? А если попробовать эти правила на наложенных кривых, на разомкнутых, на сочетаниях замкнутых и разомкнутых? Есть ли закономерность?

Третий с половиной вопрос (раз уж написал, что три вопроса) — а если нашу кривую линию нарисовать на цилиндре — нарушится ли верхняя-нижняя четность мостов? Естественное для искушенных любителей математических курьезов развитее темы — нарисовать замкнутую линию на сфере и проверить все ту же четность мостов. И последнее задание как контрольный выстрел — нарисовать трассу на проективной плоскости и погонять по ней, подсчитывая четность мостов. Пропустили Ленту Мёбиуса и Бутылку Клейна, но после проективной плоскости задачи на них выглядят примитивно-банальными.

Теперь вы знаете о великой тайне четности мостов. Попытайтесь её раскрыть.

14.10.2008  http://ezhe.ru/ib/issue971.html